Endi, keyingi masalani yechimiga o'tamiz:
Yuqoridagi DDIT dan kelgan yechimdan (yoki Monge-D'Alembert dan kelgan yechim; qulayligiga qarab) masalaning teskarisini ham o'rinli deb ayta olamiz. Ya'ni, bizdagi P va Q nuqtalardan ichki aylanaga urinmalar o'tkazsak AD' da, tashqi-ichki aylanaga urinmalar o'tkazsak AD da kesishar ekan.
Ushbu xossani keyingi masalamizda to'g'ridan-to'g'ri ishlatamiz.
PX urinma va Q dan ichki aylanag o'tkazilgan urinma biror W nuqtada kesishsin. U holda PXWQ to'rtburchakda barcha tomoniga urinayotgan aylana bor (uchburchakning ichki aylanasi).
A nuqtani olib DDIT qo'llasak, quyidagilarni bir-biriga akslantiruvchi involutiya mavjud bo'lib qoladi:
(AP,AW)
(AX,AQ)
(AB,AC) - chunki, aylanaga A dan o'tkazilgan urinmalar;
Yana BC t/ch bilan kessak, bizda BC t/ch da quyidagi nuqtalarni bir-biriga akslantiruvchi involutsiya (t/ch dagi involutsiya = inversiya) hosil bo'ladi:
(P,D')
(M,Q) (*)
(B,C)
Markaz cheksizlikka tushmaydi bu safar; inversiya markazini topish uchun (PD') va (BC) diametrli aylanalarni radiak o'qini BC bilan kesishtirish kerak.
Simmetrik ko'chirganda inversiya saqlanadi. Masalan, BC ni o'rtasiga nisbatan yuqoridagi inversiyani simmetrik ko'chisak (markaz ham simmetrik ko'chadi va yangi inversiya hosil bo'ladi), quyidagi nuqtalarni bir-biriga akslantiruvchi inversiy mavjud bo'lib qoladi:
(Q,D)
(M',P) (**)
(C,B)
bu yerda, M' deganda M ning BC ning o'rtasiga nisbatan simmetrik nuqtasi nazarda tutilmoqda. Asosiy maqsad ham M'=N ekanligini ko'rsatishdir.
---------------------
Yuqoridagiga o'xshash DDIT ni tashqi-ichki aylanaga nisbatan QYZP uchun ham qo'llash mumkin, bunda Z deganda QY va P dan tashqi-ichkiga o'tkazilgan urinmalarning kesishishini olamiz.
Yana A nuqtaga nisbatan qarasak, bu safar BC da quyidagi nuqtalarni bir-biriga akslantiruvchi inversiya hosil bo'ladi; (*) ga o'xshash:
(Q,D)
(N,P) (***)
(C,B)
Endi, (**) va (***) larni solishtirsak, aslida (Q,D) va (C,B) larni bir-biriga akslantiruvchi inversiya yagona bo'ladi; markazi aynan (QD) va (CB) aylanalarning umumiy radikal o'qining BC bilan kesishgan nuqtasi.
Ushbu inversiya yagona ekan, P ni ham boshqa bir fiksrlangan nuqtaga o'tkazishi kerak. Birinchi holda P ni M' ga, ikkinchi holda P ni N ga o'tkazmoqda. Demak, M'=N.
