Математические доказательства(база).Аксиома, это правило из серии «так есть и точка». Никаких доказательств, просто принимаем и идём дальше. Типа: через две точки можно провести ровно одну прямую, не две, не три, не «а вдруг», а одну.
Постулат - почти то же самое, что аксиома, но уже более узко и по теме. Например, у Эвклида есть постулат: если точка не на прямой, то через неё можно провести ровно одну параллельную этой прямой. Да, опять «ровно одну», математика любит порядок.
Теорема, тут уже халявы нет. Это утверждение, которое нужно доказать, используя аксиомы, постулаты и другие теоремы. Классика - теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Не веришь? Докажи.
Лемма, это маленькая, но полезная теорема-помощник. Сама по себе может выглядеть скромно, но без неё большую теорему не сдвинешь с места. Например, леммы про корни в алгебре - не звёзды, но делают всю грязную работу.
BTW: исторически аксиомы и постулаты, часто вообще не разделяли. Во многих современных учебниках слово «постулат» просто выкинули, и всё называют аксиомами без драмы. Если будет тезис: «Постулат - не аксиома». Антитезиз: «Это аксиома, просто с уточнением контекста».
