9 жизней

Многогранник в пространстве постоянной кривизны будем называть прямоугольным, если все его двугранные углы являются прямыми. Класс прямоугольных многогранников в трехмерном пространстве Лобачевского, имеющих конечный объем. Мы обсудим с

помощью каких операций можно строить такие многогранники, как оценить объем многогранника через число его вершин и какой прямоугольный многогранник имеет

самый маленький объем. В заключение сформулируем открытые вопросы. Часть из обсуждаемых результатов была получена в ходе совместных исследований с Н. Богачевым, С. Александровым и Д. Гущиным, начатых в МФТИ на ЛИПС-2021.

Будут обсуждаться графы, вложенные в трехмерное пространство. При этом, циклы графов будут вложены как узлы - их называют составными узлами вложенного графа. Мы

обсудим есть ли связь между строением графа и свойствами составных узлов и как связан полином Ямады вложенного графа с полиномом Джонса узлов и зацеплений,

построенных по вложению графа. Будут приведены результаты, полученные для вложений полного графа на четырех вершинах.

В 2026 году вышел обновленный список открытых проблем топологии малых

размерностей. В этом списке под номером 1.29 приведена гипотеза об объеме и детерминанте альтернированного гиперболического узла, которая состоит в то, что они

связаны определенным неравенством. К настоящему времени известно, что гипотеза верна для начального списка таблицы узлов и для нескольких бесконечных семейств узлов и зацеплений. Используя результаты лекции 1 об оценке объемов прямоугольных многогранников мы покажем, что гипотеза верна для узлов и зацеплений с большим числом скручиваний в диаграмме.