Много разных факториалов!
Субфакториал (обозначается как !n) — это число беспорядков (derangements) множества из n элементов, то есть только таких перестановок, в которых ни один элемент не остается на своем первоначальном месте.
* Факториал (n!) считает все возможные способы упорядочить n предметов - число перестановок. Например, если 3 человека (A, B, C), которые сидят на трех стульях, существует 3! = 6 способов распределить трех человек по трем стульям.
* Субфакториал (!n) считает только те перестановки, где ни один элемент не оказался на своем исходном месте (никто не остался на своем месте).
Для n = 3 исходный порядок — (A, B, C). Всего перестановок 6:
1. (A, B, C) — 3 на своих местах
2. (A, C, B) — 1 на своем месте (A)
3. (B, A, C) — 1 на своем месте (C)
4. (C, B, A) — 1 на своем месте (B)
5. (B, C, A) — беспорядок (никто не на месте)
6. (C, A, B) — беспорядок (никто не на месте)
Таким образом, для трех элементов обычный факториал 3! = 6, а субфакториал !3 = 2.
Субфакториал можно вычислить с помощью формулы, полученной по принципу включений-исключений. Она представляет собой обычный факториал, умноженный на частичную сумму ряда обратных факториалов:
!n = n! * ( 1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n / n! )
Поскольку 1/0! = 1 и 1/1! = 1, первые два члена взаимно уничтожаются, и формулу можно записать короче:
!n = n! * ( 1/2! - 1/3! + 1/4! - ... + (-1)^n / n! )
Пример расчета для n = 4:
!4 = 24 * ( 1/2 - 1/6 + 1/24 ) = 24 * ( (12 - 4 + 1) / 24 ) = 9
Неожиданная формула и связь с числом e
Из математического анализа известно, что разложение функции e^x в ряд Тейлора при x = -1 дает:
e^(-1) = 1/e = 1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ...
Выражение в скобках для субфакториала — это не что иное, как частичная сумма ряда для 1/e. При увеличении n эта сумма стремительно приближается к 1/e.
Из-за этого свойства возникает невероятно простая и неожиданная формула связи субфакториала с округлением:
!n = round( n! / e )
Здесь round означает округление до ближайшего целого числа. Чтобы найти !n, достаточно разделить обычный факториал на число e ≈ 2.71828 и округлить результат до целого. Эта формула работает абсолютно для всех n ≥ 1.
Парадокс совпадений. Если мы ищем вероятность полного беспорядка, мы делим !n на n!.
Получаем (n! / e) / n! = 1/e ≈ 0.3678.
Это значит, что сколько бы людей ни пришло на вечеринку — 10, 100 или миллион — вероятность того, что абсолютно все уйдут в чужих шляпах, всегда одинакова и равна примерно 36.8%.
Но это еще не все!
В комбинаторике и теории чисел есть целый ряд удивительных функций, которые часто остаются в тени классического факториала. Вот самые яркие и красивые из них:
## 1. Мультифакториалы (Двойной, Тройной и т.д.)
Обычный факториал шагает назад с шагом 1. Но шаг можно увеличить!
* Двойной факториал (n!!) — это произведение чисел с шагом 2.
* Если n нечетное: 7!! = 7 * 5 * 3 * 1 = 105
* Если n четное: 6!! = 6 * 4 * 2 = 48
* Смысл в комбинаторике: (2n - 1)!! задает количество способов разбить 2n человек на пары. Например, если у вас 4 человека, их можно разбить на пары (4 - 1)!! = 3!! = 3 * 1 = 3 способами.
* Обозначение: Шаг задается количеством восклицательных знаков. n!!! — это тройной факториал (шаг 3).
## 2. Простой факториал (Праймориал)
По аналогии с факториалом, это произведение, но только простых чисел, не превосходящих n.
* Пример: 7# = 7 * 5 * 3 * 2 = 210 (числа 4 и 6 пропускаются, так как они составные).
* Смысл в комбинаторике и теории чисел: Праймориал критически важен при поиске сверхсоставных чисел (чисел с рекордно большим количеством делителей) и в доказательстве Евклида о бесконечности простых чисел.
3July 17, 2026 261 1 7
