Кудирмеков Василий. Республика Алтай

Что за Гипотеза?

Возьмем квадратную комплексную матрицу A размера n×n. Ее числовой образ — это множество всех чисел вида ⟨Ax,x⟩, где x пробегает комплексные векторы единичной длины. Это компактное выпуклое множество на комплексной плоскости, содержащее все собственные значения матрицы.

Гипотеза Крузе утверждает, что для любой такой матрицы и любого многочлена операторная (спектральная) норма этого многочлена от матрицы не превосходит удвоенного максимума модуля того же многочлена на числовом образе матрицы.

Иначе говоря, если подставить матрицу в многочлен вместо переменной, то норма получившейся матрицы может оказаться больше наибольшего значения этого многочлена на числовом образе, но не более чем в два раза. Коэффициент 2 универсален: он не зависит ни от размера матрицы, ни от выбора многочлена.