Думаю для многих задача оказалась не очень простой и вызвала много вопросов на этапе размышлений над ходом решения, поэтому я бы размышлял так:
Как вообще подступиться к такой задаче, где дана рекуррентная формула, а доказать нужно неравенство с корнем?
Работать с иррациональностями не очень удобно. Поэтому давайте мы искусственно создадим удобную запись и перейдем к квадратам
Проверка знаков. Сначала мы убеждаемся, что все члены последовательности строго положительные (ведь к положительному числу всегда прибавляется положительная дробь). Это дает нам право безболезненно возводить неравенства в квадрат и извлекать корни обратно.
Возводим в квадрат. Мы решаем посмотреть, как меняется не сам член последовательности, а его квадрат. Раскрываем квадрат суммы и видим красоту: a_{n+1}^2 состоит из a_n^2, двойки и еще небольшой положительной дроби 1/a_n^2
Оценка шага. Так как эта дробь точно больше нуля, мы можем ее отбросить и сказать наверняка: на каждом шаге квадрат нашей последовательности увеличивается строго больше чем на 2.
Метод «телескопа». Мы выписываем неравенства для всех шагов (от первого до n-го) и просто складываем их. Левая и правая части эффектно «схлопываются» — промежуточные члены взаимно уничтожаются, и остаются только первый и последний элементы.
Финальный шаг. Мы получаем, что квадрат n-го члена вырос на величину 2(n-1). Подставляем значение самого первого члена (a_1=1), переносим единичку, извлекаем корень и хеппи энд, а значит исходное неравенство доказано
Вот такая вот кайфовая задачка получилась, а вы смогли решить?
🍌- все понял и решил
🍓 - че то слишком тяжело...
