Юно хотела проверить отчёты по геодезии, но данные казались бессмысленными. Пока она гадала, что означают эти нули и единицы, ей в руки попала не таблица истинности, а схема аффинного преобразования. Оказывается, все измерения были лишь проекцией, а истина скрывалась в коэффициентах сдвига и поворота!
boost? #math
Что это такое ?Аффинное
преобразование
— это отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, а скрещивающиеся — в скрещивающиеся.
"Отображение в себя" означает, что, находясь в каком-то определенном пространстве, после преобразования мы должны остаться в нем же. Значит, если мы будем преобразовывать, например, какие-то две параллельные прямые, они и после преобразования должны остаться параллельными.
Напоминание
:
Параллельные
прямые — прямые в одной плоскости, которые не пересекаются и не имеют общих точек.
Пересекающиеся
прямые — прямые, которые лежат в одной плоскости и имеют только одну общую точку.
Скрещивающиеся
прямые — прямые в пространстве, которые не лежат в одной плоскости, не пересекаются и не параллельны друг другу.
Другие важные определения:
Преобразование плоскости называется
аффинным
, если оно непрерывно, взаимно однозначно и образом любой прямой является прямая.
Преобразование называется непрерывным, если «близкие точки переходят в близкие».
Преобразование взаимно однозначно, если разные точки переводятся в разные точки и в каждую точку переводится какая-то точка. То есть, например, прямая не может преобразоваться в точку или точка в прямую, иначе это преобразование не будет взаимно однозначным.
Виды аффинных преобразований:Параллельный перенос
— все точки фигуры смещаются на один и тот же вектор в заданном направлении.
Масштабирование
— увеличение или уменьшение размеров фигуры вдоль осей координат.
Поворот
— вращение на угол α (вращение вокруг фиксированной точки/оси вращение, в зависимости от того, в каком пространстве находится фигура(если двухмерное — вокруг точки, если трехмерное — оси вращения)).
Отражение
— зеркальное отображение относительно прямой (на плоскости) или относительно плоскости (в пространстве).
Сдвиг
— координаты точек изменяются линейно в зависимости от другой координаты, ну или просто наклон фигуры (например, прямоугольник в параллелограмм).
Гомотетия
— каждая точка смещается вдоль прямой, проходящей через фиксированный центр, причём расстояние от этой точки до центра умножается на одно и то же число, не равное нулю.
Формула в матричном виде и с помощью координат:x' = a11x + a12y + b1
y' = a21x + a22y + b2
, где
a11, a12, a21 и a22
— это элементы матрицы A, отвечающие за поворот, сжатие/растяжение и наклон, а
b1 и b2
— это координаты вектора переноса b, отвечающие за сдвиг всей фигуры вправо-влево и вверх-вниз.
В
матричном виде
формула выглядит так:
X' = AX + b
, где X — старые координаты точки (x, y), X' — новые координаты (x', y'), A — матрица (с элементами a11, a12, a21, a22), b — вектор (b₁, b₂).
