Niyə üçölçülü kompleks ədəd yoxdur? Üçölçülü kompleks ədədlərin (və ya 3-ölçülü hiperkompleks ədədlərin) mövcud olmamasının əsas səbəbi cəbri xassələrin (xüsusilə vurma əməliyyatının) tənlikləri ödəyə bilməməsidir. Cəbrdə bir ədəd sisteminin riyazi olaraq mənalı və istifadəyə yararlı sayılması üçün vurma əməliyyatı müəyyən baza şərtlərinə cavab verməlidir. 3-ölçülü sistemdə (a + bi + cj) bu şərtləri eyni anda saxlamaq mümkün olmur. --- ### 1. Bölünməyən Sıfır Hədləri (Zero Divisors) Adət etdiyimiz kompleks ədədlərdə (a + bi) sıfırdan fərqli iki ədədin hasili heç vaxt sıfır ola bilməz: * z₁ · z₂ = 0 olarsa, mütləq z₁ = 0 və ya z₂ = 0 olmalıdır. Əgər 3-ölçülü bir ədəd sistemi qurmağa çalışsaq (məsələn, 1, i, j bazisləri ilə), i² = -1 qəbul etdikdə j²-nin nəyə bərabər olacağını təyin etməliyik. Əgər j² = 1 götürsək: * (1 - j)(1 + j) = 1 - j² = 1 - 1 = 0 Burada sıfırdan fərqli iki ədədin hasili sıfır verir. Bu isə bölmə əməliyyatını imkansız edir (sıfıra bölmə qeyri-müəyyənliyi yaranır). --- ### 2. Vurmanın Yerdəyişmə və Qruplaşma Xassələri Vurmanın kommutativlik (a · b = b · a) və assosiativlik ((a · b) · c = a · (b · c)) xassələrini saxlayaraq i · j və j · i hasilini təyin etmək mümkün olmur. i · j-nin nəticəsi mütləq sistemin içində (a + bi + cj formasında) qalmalıdır, lakin hansı xassəni seçsəniz, cəbrin tamlığı pozulur. --- ### 3. Frobenius Teoremi (Riyazi Sübut) 1878-ci ildə alman riyaziyyatçısı Ferdinand Qeorq Frobenius sübut etdi ki, həqiqi ədədlər üzərində bölmə cəbrinə (dağılma, assosiativlik xassələrinə malik olan və sıfırdan fərqli hər bir elementin tərsinin olduğu sistemlərə) malik yalnız 4 ölçülü sistem mövcud ola bilər: * 1-ölçülü: Həqiqi ədədlər (R) * 2-ölçülü: Kompleks ədədlər (C) * 4-ölçülü: Kvaternionlar (H) — *Uilyam Hamilton tərəfindən kəşf edilib.* * 8-ölçülü: Oktonionlar (O) Diqqət etsəniz, ölçülər həmişə 2ⁿ (1, 2, 4, 8) şəklində artır. 3-ölçülü genişlənmə riyazi olaraq xassələri qorumur. --- ### Hamiltonun Kəşfi Uilyam Hamilton illərlə 3-ölçülü kompleks ədədlər sistemini kəşf etməyə çalışdı (fəzada fırlanmaları təsvir etmək üçün). Lakin 1843-cü ildə anladı ki, 3-cü ölçünü əlavə etmək üçün iki yox, üç xəyali vahid (i, j, k) lazımdır. Bu da sistemi 3-ölçülü deyil, 4-ölçülü (kvaternionlar) etdi: * i² = j² = k² = i · j · k = -1 Nəticədə, 3-ölçülü məkan hərəkətlərini idarə etmək üçün riyaziyyatçılar 3-ölçülü ədəddən deyil, 4-ölçülü kvaternionlardan və ya 3-ölçülü vektor cəbrindən istifadə edirlər.
2
1
