İsbat edin. ∑k =1 n k×(k +1)×(k +2) =n×(n +1)×(n +2)×(n +3) /4. İsbatı. Üsul 1. ∑k =1 n k×(k +1)×(k +2) =∑k =1 n (k³ +3k² +2k). Sonlu cəmin xəttilik xassəsindən istifadə etsək alarıq. =∑k =1 n k³ +3∑k =1 n k² +2∑k =1 n k =(1 +2 +... +n)² +3n×(n +1)×(2n +1) /6 +2n×(n +1) /2 =n²×(n +1)² /4 +n×(n +1)×2n +1) /2 +n×(n +1) =n²×(n +1)² /4 +2n×(n +1)×2n +1) /4 +4n×(n +1) /4 =(n +1)×[n²×(n +1) +2n×(2n +1) +4n] /4 =(n +1)×(n³ +n² +4n² +2n +4n) /4 =(n +1)×(n³ +5n² +6n) /4 =n×(n +1)×(n +2)×(n +3) /4. Üsul 2. Verilmiş cəmdə indeks sürüşdürməsi edək. k =i -1, i =k +1. Onda cəm aşağıdakı şəklə düşər. ∑i =2 n +1 (i -1)×i×(i +1). Əgər i =1 olarsa,onda (i -1)×i×(i +1) =0 olar. Ona görə də cəmi aşağıdakı şəkildə yaza bilərik. ∑i =1 n +1 (i -1)×i×(i +1) ∑i =1 n +1 (i³ -i) =∑i =1 n +1 i³ -∑i =1 n +1 i =[(n +1)×(n +2) /2]² -(n +1)×(n +2) /2 =(n +1)×(n +2) /2 ×((n +1)×(n +2) /2 -1) =(n +1)×(n +2) /2 ×(n² +3n +2 -2 /2) =(n +1)×(n +2) /2 ×n×(n +3) /2 =n×(n +1)×(n +2)×(n +3) /4. Xassə: Cəm cəmləmə indeksindən asılı deyil.
1
