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《大宇之形》 by [美] 丘成桐 史蒂夫·纳迪斯； 1、丘成桐是把数学和物理结合在一起，而不是单纯的数学；事实上，数学的发展，是物理推动的，后面21世纪，从力学到热力学，到概率论，产生了信息论，然后又产生了计算机； 可以说，数学一直是在解决现实物理问题中发展的，作为解决物理问题的工具，不断地发展进化，如果脱离了最开始的物理问题，去看数学，那就是天书； 2、拓扑学研究的是几何的整体性；和普通几何学相比，普通几何学是研究地球的马路，山川、河流等细节，拓扑学是站在地球以外，看地球； 说明研究领域，越来越抽象了； 3、几何的发展：毕达哥拉斯->欧几里得->笛卡尔（引入了代数解几何）->牛顿、莱布尼兹、欧拉、拉格朗日、蒙日、高斯（引入微积分，即分析，求曲线、曲面的性质），干出了微分几何； 在欧式空间测量空间两点距离，用毕达哥拉斯定理即可；而黎曼推广了毕达哥拉斯定理，解决了如何在弯曲的非欧空间测量空间两点距离； 非欧空间的曲线长度怎么算？把曲线分割成一段段无穷小的“切向量”，然后积分； 直白点说： 微分形式是为了能处理“拐弯”，而度规系数是为了能处理“空间本身的变形”。 事实上，阿基米德就是这么做的第一人，为了解决现实物理问题，变成几何问题，为了解决几何问题，引入了代数、极限（割圆法）； 4、黎曼几何最伟大的思想转折：从“外蕴”到“内蕴”的视角切换； 黎曼之前（外部观察）：人们认为要研究一个曲面，必须把它放在更高维的空间里。就像看一张纸弯曲了，是因为你站在三维空间看二维的纸。 黎曼之后（内部测量）：黎曼证明了，你不需要“跳出来”观察。哪怕你是一只只能在曲面上爬行的蚂蚁，无法感知第三维，你依然可以通过测量曲面上不同点之间的距离（即利用度规），计算出这个空间是否弯曲。即物理学家只需在实验室里观察光线的偏折、测量时间的流逝速度，就能推算出宇宙时空的弯曲程度，而不需要真的“跳出宇宙”； 如何从局部推出整体结构，实现“一叶知秋”？ 测量局部曲率，借由大自然能量最少原则（即最小作用量原理或变分原理）、里奇流 (Ricci Flow)（我们假设度规 g{ij}会像热量一样，随着时间向曲率更低、更平滑的方向演化），意味着要求解最值，于是偏微分方程就能派上用场； #数学 #哲学 #几何 @daxiabook